谈谈我对复数极坐标表示的初步理解2

上次那篇搞完之后,第二天我尝试了一下算极坐标那个角度的方法,花了很大的功夫尝试了几次,发现特别容易写错,几次写的代码算出来都是错的。我用的那个复数的库,虽然提供了获取长度和获取角度的方法,但是拿到的结果却不是我想要的能直接用于 Aeix 形式的。因为反三角函数的值域并不是从0到2π,所以我后来根据实部和虚部的正负关系,配合诱导公式,自己写了实现来求那个角度。思考之后,究其原因,是这东西有二义性。因为我一直假定 A > 0 、也就是极坐标上距离关系那个变量一定是正的,那么 x 也就是固定的了。举个简单的例子,对于 -1 这个数,可以理解为是 1 旋转了 180° 得到的;但是,它也可以理解为是 -1 没有旋转。 -i 这个数,可以理解为 1 旋转了 270° ,也可以理解为 -1 旋转了 90°。所以按照这么说,如果没有对 A 或 x 进行限定,那么就会有不止一种的表示方式。如果计算过程中弄串了,那么算出来的结果就很可能错了(之所以说很可能,是因为也有可能正好是对的)。

不知道是不是搜索方式不对,我网上搜的一些资料直接就跟我说用 arctan 反三角函数来求那个旋转角度。但是就我看,显然是不行的。arctan 是直角三角形中两个直角边的比值,但是当这两个边都是负值的时候……也就是,一个复数的实部和虚部都是负的,在坐标轴中落在第三象限,它是没法分辨出和第一象限(复数的实部和虚部都是正的)的区别的。所以我觉得这种“计算方法”并不能满足我的需求。然后后来我发现,都已经写成 Aeix 形式了,那么因为有 A=elnA 所以它可以变成 elnA+ix 这种形式。好了这下太明显了,一个 a+bi 换成极坐标形式,直接对它取对数,就能拿到 lnA+ix 这样的东西,一个实部一个虚部:虚部是角度,实部是对长度取e为底的对数的结果。然后因为 x 为实数的时候 ex 是不会为负的,所以这也就满足了刚才说的 Aeix 中 A>0 的要求。直角坐标系表示方法取个对数能变成极坐标表示,也是非常的神奇。在C++标准库里,头文件 complex 包含了复数的实现,其中甚至有对复数取对数的函数。

还有另一个就是,我原来一直想不出“复正弦信号”,也就是 f(x)=eix=cosx+isinx 的图像到底是什么东西这种事,现在大概知道是什么样子的了。我原来并没有把它放在极坐标看,那么cosx和sinx是两条曲线,我在同一个平面画这两个曲线,最终也就是得到类似这样的效果:

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实在是看不出什么东西来,但是实际上,它应该是一个立体的:每个值都是平面上的一个点,然后把这些平面堆叠起来变成一个三维立体的图。它的图应该是这样子的

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是像弹簧一样旋转的。所以在实数离散傅里叶变换里,变换后的复数系数里会有一对方向相反(一个顺时针转一个逆时针转)、半径一样松紧程度的弹簧出现。方向相反会使得相加的结果在虚数轴那个方向上相互抵消,最后变回实数。

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