谈谈我对复数极坐标表示的初步理解

这几天在看离散傅里叶变换。虽然傅里叶变换那边还没搞定,不过因为数学有好大一部分还给老师了,这甚至都不知道是高中的还是大学的内容,结果这会儿看到复数还得想办法重新去理解复数。当时充其量也只知道个 i2=-1,但是这种程度的理解我觉得显然没办法应付要搞傅里叶变换这种事。今天在学习波形的平移会怎么影响傅里叶变换的结果的时候,好像突然对复数的理解有一点进展了,就赶紧想办法写一写。

 

我记得我学复数的时候,只知道有个 i2=-1,然后复数是 a+bi (a和b都是实数)形式的东西,在计算的时候如果有遇到两个 i 相乘,就算出 -1,没有的话就把 i 留着。当时也知道两个数轴交叉,横轴是实轴纵轴是虚轴,然而学了还是懵逼,以至于也许我今天理解的东西搞不好就是以前教过还给老师的,无奈只能再来一次。

今天是无意间发现像 a+bi 这种形式的复数,可以写成 A·eix 这种形式。对于 eix 这种东西的运算,有个欧拉公式,是 eix=cos x+i·sin x。按照这个公式逆着来,对于 a+bi 只要有 a=A·cos x 和 b=A·sin x,就可以转化成 A·eix 形式。对于这两个等式,很容易可以算出cosx和sinx分别 a/A 和 b/A 。这个时候结合横轴是实轴纵轴是虚轴的坐标系的图,把这个 a+bi 所在位置画上去,再把这个数所在位置和原点连接起来,可以看出这个A其实就是这根线段的长度(我记为L),于是能得出image,这样很容易就能把x算出来。于是这样就能把 a+bi 转换为 A·eix 形式了。

这里其实有个问题,因为 arccos(a/L) 和 arcsin(b/L) 的值域其实是不一样的。在 0~2π 范围内,有两个 x 能让 cosx=a/L,但是并不是这两个 x 都能让 sinx=b/L。所以这里不能只算一个就够了,要分别对这两个等式把 0~2π 范围内两个都算出来,然后取同时满足这两个等式的解。

那么这种形式到底有什么好处,搞得非得把 a+bi 写成什么还能虚数次方的形式呢?其实是这样的,我发现这个 A·eix 其实是复数的极坐标式,A是长度,x是和实轴正半轴形成的夹角。

image

这个图看得就很清楚,i+是虚数正半轴,r+是实数正半轴,c是这个平面上的一个点(一个复数),L是这个复数距离原点的距离,x是拉开这么长距离后,要旋转多少弧度的角。

对于复数的加法和减法,在 a+bi 这种表示方式下更为容易理解:它就和二维向量的加减法是一样的。具体规则是实数部分和实数部分相加,然后虚数部分和虚数部分相加。

但是对于复数的乘法和除法,在极坐标下容易得多。我举个乘法的例子(除法其实是一样的),我有一个 A·eix 和一个 B·eiy 要相乘,运算的时候就变成 A·B·ei(x+y) ,这样很明显能看出其实是它们的长度相乘,然后它们的旋转角度相加。

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