不知道是不是搜索方式不对，我网上搜的一些资料直接就跟我说用 arctan 反三角函数来求那个旋转角度。但是就我看，显然是不行的。arctan 是直角三角形中两个直角边的比值，但是当这两个边都是负值的时候……也就是，一个复数的实部和虚部都是负的，在坐标轴中落在第三象限，它是没法分辨出和第一象限（复数的实部和虚部都是正的）的区别的。所以我觉得这种“计算方法”并不能满足我的需求。然后后来我发现，都已经写成 Ae^ix 形式了，那么因为有 A=e^lnA 所以它可以变成 e^lnA+ix 这种形式。好了这下太明显了，一个 a+bi 换成极坐标形式，直接对它取对数，就能拿到 lnA+ix 这样的东西，一个实部一个虚部：虚部是角度，实部是对长度取e为底的对数的结果。然后因为 x 为实数的时候 e^x 是不会为负的，所以这也就满足了刚才说的 Ae^ix 中 A>0 的要求。直角坐标系表示方法取个对数能变成极坐标表示，也是非常的神奇。在C++标准库里，头文件 complex 包含了复数的实现，其中甚至有对复数取对数的函数。

还有另一个就是，我原来一直想不出“复正弦信号”，也就是 f(x)=e^ix=cosx+isinx 的图像到底是什么东西这种事，现在大概知道是什么样子的了。我原来并没有把它放在极坐标看，那么cosx和sinx是两条曲线，我在同一个平面画这两个曲线，最终也就是得到类似这样的效果：

实在是看不出什么东西来，但是实际上，它应该是一个立体的：每个值都是平面上的一个点，然后把这些平面堆叠起来变成一个三维立体的图。它的图应该是这样子的

是像弹簧一样旋转的。所以在实数离散傅里叶变换里，变换后的复数系数里会有一对方向相反（一个顺时针转一个逆时针转）、半径一样松紧程度的弹簧出现。方向相反会使得相加的结果在虚数轴那个方向上相互抵消，最后变回实数。

我记得我学复数的时候，只知道有个 i²=-1，然后复数是 a+bi （a和b都是实数）形式的东西，在计算的时候如果有遇到两个 i 相乘，就算出 -1，没有的话就把 i 留着。当时也知道两个数轴交叉，横轴是实轴纵轴是虚轴，然而学了还是懵逼，以至于也许我今天理解的东西搞不好就是以前教过还给老师的，无奈只能再来一次。

今天是无意间发现像 a+bi 这种形式的复数，可以写成 A·e^ix 这种形式。对于 e^ix 这种东西的运算，有个欧拉公式，是 e^ix=cos x+i·sin x。按照这个公式逆着来，对于 a+bi 只要有 a=A·cos x 和 b=A·sin x，就可以转化成 A·e^ix 形式。对于这两个等式，很容易可以算出cosx和sinx分别 a/A 和 b/A 。这个时候结合横轴是实轴纵轴是虚轴的坐标系的图，把这个 a+bi 所在位置画上去，再把这个数所在位置和原点连接起来，可以看出这个A其实就是这根线段的长度（我记为L），于是能得出，这样很容易就能把x算出来。于是这样就能把 a+bi 转换为 A·e^ix 形式了。

这里其实有个问题，因为 arccos(a/L) 和 arcsin(b/L) 的值域其实是不一样的。在 0~2π 范围内，有两个 x 能让 cosx=a/L，但是并不是这两个 x 都能让 sinx=b/L。所以这里不能只算一个就够了，要分别对这两个等式把 0~2π 范围内两个都算出来，然后取同时满足这两个等式的解。

那么这种形式到底有什么好处，搞得非得把 a+bi 写成什么还能虚数次方的形式呢？其实是这样的，我发现这个 A·e^ix 其实是复数的极坐标式，A是长度，x是和实轴正半轴形成的夹角。

这个图看得就很清楚，i+是虚数正半轴，r+是实数正半轴，c是这个平面上的一个点（一个复数），L是这个复数距离原点的距离，x是拉开这么长距离后，要旋转多少弧度的角。

对于复数的加法和减法，在 a+bi 这种表示方式下更为容易理解：它就和二维向量的加减法是一样的。具体规则是实数部分和实数部分相加，然后虚数部分和虚数部分相加。

但是对于复数的乘法和除法，在极坐标下容易得多。我举个乘法的例子（除法其实是一样的），我有一个 A·e^ix 和一个 B·e^iy 要相乘，运算的时候就变成 A·B·e^i(x+y) ，这样很明显能看出其实是它们的长度相乘，然后它们的旋转角度相加。